Temel Kavramlar soruları

|x| = -x ise x negatiftir (x < 0). |y| = y ise y pozitiftir (y > 0). Seçenekleri inceleyelim: A) x+y (bilinemez), B) x - y = (negatif) - (pozitif) = daima negatiftir. C) y - x = (pozitif) - (negatif) = daima pozitiftir. D) x * y² = (-) * (+) = negatif ama y=0 olsaydı 0 olurdu, soruda sıfırdan farklı denmiş, bu da daima negatiftir. (Düzeltme: Soru kökünde x-y kesinlikle negatiftir. x*y² de negatiftir. ÖSYM tarzında tek doğru cevap olmalı. B şıkkı x-y her zaman negatiftir. D şıkkı da negatiftir. Soruyu revize edelim: 'daima pozitiftir' diye soralım ve C'yi doğru cevap yapalım. Veya şıkları değiştirelim. B şıkkı kalsın, D şıkkını x² + y yapalım. Evet, D şıkkı x² + y olsun. Bu durumda cevap B olur.)

a ve b negatif olduğundan a + b < 0'dır, |a + b| = -a - b olur. a < b olduğundan a - b < 0'dır, |a - b| = -a + b olur. b < 0 olduğundan |b| = -b olur. İfadeyi yerine yazalım: (-a - b) - (-a + b) + (-b) = -a - b + a - b - b = -3b. (Düzeltme: Şıklarda -3b yok. İşlemi tekrar edelim: -a - b + a - b - b = -3b. Şıkları revize etmeliyim. A şıkkını -3b yapalım. Doğru cevap A olsun.)

Öğretmen Çözüm Anlatımı:

Çarpımları sabit pozitif tam sayıların toplamının en küçük olması için sayılar birbirine en yakın seçilir.

x = 6, y = 6 alınırsa: x + y = 6 + 6 = 12 bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

x² daima pozitiftir (x sıfır olamaz çünkü çarpım sıfırdan küçük). x² * y < 0 ise y kesinlikle negatiftir (-). y negatif ise y³ de negatiftir. y³ * z > 0 eşitsizliğinin sağlanması için z'nin de negatif olması gerekir (-). x * z < 0 eşitsizliğinde z negatif olduğuna göre x pozitif olmalıdır (+). Sırasıyla işaretler +, -, - olmalıdır. (Açıklamada +, -, - bulundu, ancak doğru cevap E (+, -, +) olarak işaretlenmiş. Kontrol edelim: y³ * z > 0 ve y negatif ise z negatiftir. x*z < 0 ve z negatif ise x pozitiftir. İşaretler: +, -, -. Doğru cevap A şıkkıdır. JSON'da A olarak düzeltildi.)

Öğretmen Çözüm Anlatımı:

Çarpımı 72 olan tam sayı ikilileri:
(1, 72) ⇒ Toplam = 73 (en büyük)
(8, 9) ⇒ Toplam = 17 (en küçük)

Fark = 73 − 17 = 56 bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

3a + 4b = Çift. 4b ifadesi b ne olursa olsun (b tam sayı olduğu için) daima çifttir. O halde 3a + Çift = Çift olmalıdır. Buradan 3a'nın çift olması gerektiği bulunur. 3 tek sayı olduğundan çarpımın çift olması için a'nın kesinlikle çift sayı olması gerekir. b hakkında kesin bir şey söylenemez (tek de olabilir çift de). I. a çifttir (Doğru). II. b çifttir (Kesin değil). III. a*b çarpımında a çift olduğu için sonuç daima çifttir (Doğru). Cevap I ve III.

Doğru cevap D.

x çift ve y pozitif tam sayı olduğundan x^y daima çifttir. Çift + z = Tek olduğuna göre z tek sayıdır. z tek ve x pozitif tam sayı olduğundan z^x (Tek^Pozitif) daima tek sayı olur.

Doğru cevap D.

a ve b sıfırdan küçük (negatif) sayılardır. İki negatif sayının toplamı (a + b) her zaman negatiftir. Diğer seçenekler: a*b pozitiftir, a/b pozitiftir, (a-b)² pozitiftir, b-a (büyükten küçük çıktığı için) pozitiftir.

Doğru cevap A.

m² + m ifadesini m(m + 1) olarak yazabiliriz. Ardışık iki tam sayının çarpımı daima çift sayıdır. Dolayısıyla m(m + 1) çifttir. Çift + n = Tek olduğuna göre n kesinlikle tek sayıdır. m'nin tek veya çift olduğu bilinemez. C şıkkındaki n² + n = n(n + 1) ifadesi, n ne olursa olsun ardışık iki sayının çarpımı olduğundan daima çift sayıdır.

Doğru cevap C.

Çarpımın sonucu tek ise çarpanların her ikisi de tek olmalıdır. Bu yüzden a tek sayıdır ve (b + c) tek sayıdır. (b + c) tek ise b ve c'den biri tek diğeri çifttir. Bu durumda b · c her zaman çift olur (II doğru). a + b + c toplamı ise a + (b + c) şeklinde düşünülürse, Tek + Tek = Çift olur (III doğru). Dolayısıyla üç öncül de her zaman doğrudur.

Doğru cevap E.

c=1 en küçük, b=9 en büyük katsayılı, a=8 seçilirse: 2(8) + 3(9) − 1 = 16 + 27 − 1 = 42 (paydada 1 ile 42... veya a=9, b=8 ile 18+24-1 = 41; b=9, a=8 ile 441 = 44).

Doğru cevap D.

a < b olduğundan a - b negatiftir (-). c > 0 ve a < 0 olduğundan c - a pozitiftir (+). Pay kısmı (-) * (+) = (-) olur. Payda kısmı b + c'dir. b negatif, c pozitiftir. b + c'nin işareti b ve c'nin mutlak değerce hangisinin daha büyük olduğuna bağlıdır. Eğer |c| > |b| ise payda (+), sonuç (-) olur. Eğer |b| > |c| ise payda (-), sonuç (+) olur. Bu nedenle işaret b ve c'nin mutlak değerlerine bağlıdır.

Doğru cevap D.

1) a² * b < 0 eşitsizliğinde a² daima pozitiftir (+). Sonucun negatif olması için b'nin negatif (-) olması gerekir. 2) b³ * c > 0 eşitsizliğinde b negatif olduğundan b³ de negatiftir (-). Sonucun pozitif olması için c'nin de negatif (-) olması gerekir. 3) a * c < 0 eşitsizliğinde c'nin negatif (-) olduğunu bulduk. Sonucun negatif olması için a'nın pozitif (+) olması gerekir. Sırasıyla işaretler: +, -, - şeklindedir.

Doğru cevap A.

Öğretmen Çözüm Anlatımı:

5a = 40 − 2b = 2(20 − b) ⇒ a = 2(20 − b) / 5

a > 0 şartından b < 20 ve (20 − b) 5'in katı olmalıdır: b ∈ {5, 10, 15}

b = 5 ⇒ a = 6, b = 10 ⇒ a = 4, b = 15 ⇒ a = 2

Toplam 3 farklı a değeri vardır. Doğru cevap B seçeneğidir.

a ve b negatif, c pozitiftir. A şıkkı: İki negatif sayının toplamı negatiftir. B şıkkı: Negatif sayıdan pozitif sayı çıkarsa sonuç negatiftir. C şıkkı: a.c negatif, b negatif, toplamları negatiftir. D şıkkı: c pozitif, a negatif. c - a = c + (-a) işlemi iki pozitif sayının toplamına dönüşür ve daima pozitiftir. E şıkkı: a/b pozitif, ancak c'nin büyüklüğüne göre sonuç değişebilir.

Doğru cevap D.