Diziler ve Seriler

Diziler

• Dizi: Tanım kümesi pozitif doğal sayılar olan fonksiyon: (aₙ) = a₁, a₂, a₃, …
• Yakınsaklık: Her ε > 0 için n > N olduğunda |aₙ − L| < ε olacak şekilde bir N varsa (aₙ) dizisi L'ye yakınsar. Yakınsak dizinin limiti tektir ve yakınsak dizi sınırlıdır.
• Monoton yakınsaklık teoremi: Monoton ve sınırlı her dizi yakınsaktır.
• Cauchy dizisi: Her ε > 0 için m, n > N olduğunda |aₘ − aₙ| < ε. Reel sayılarda bir dizi yakınsaktır ⟺ Cauchy dizisidir (tamlık).
• Bolzano-Weierstrass teoremi: Sınırlı her dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır.
• Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d; ilk n terim toplamı Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Geometrik dizi: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹; Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), r ≠ 1.
• Önemli limitler: lim (1 + 1/n)ⁿ = e; lim ⁿ√n = 1; |r| < 1 ise lim rⁿ = 0; lim (ln n)/n = 0.

Seriler

• Seri: Σ aₙ; kısmi toplamlar dizisi Sₙ = a₁ + … + aₙ yakınsaksa seri yakınsaktır.
• n. terim (ıraksaklık) testi: lim aₙ ≠ 0 ise seri ıraksaktır. (lim aₙ = 0 olması yakınsaklık için gerekli ama yeterli değildir; harmonik seri Σ1/n ıraksaktır.)
• Geometrik seri: Σ a·rⁿ⁻¹, |r| < 1 ise yakınsar ve toplamı a/(1 − r); |r| ≥ 1 ise ıraksar.
• p-serisi: Σ 1/nᵖ, p > 1 ise yakınsak, p ≤ 1 ise ıraksak.
• Teleskopik seri: Terimler birbirini götürür; Σ 1/(n(n + 1)) = 1.

Yakınsaklık Testleri (Pozitif Terimli Seriler)

• Karşılaştırma testi: 0 ≤ aₙ ≤ bₙ ve Σbₙ yakınsak ise Σaₙ yakınsak; Σaₙ ıraksak ise Σbₙ ıraksak.
• Limit karşılaştırma testi: lim aₙ/bₙ = c (0 < c < ∞) ise iki seri birlikte yakınsar ya da ıraksar.
• Oran (D'Alembert) testi: L = lim |aₙ₊₁/aₙ|; L < 1 yakınsak, L > 1 ıraksak, L = 1 karar verilemez.
• Kök (Cauchy) testi: L = lim ⁿ√|aₙ|; aynı karar kuralları.
• İntegral testi: f pozitif, sürekli, azalan ve f(n) = aₙ ise Σaₙ ile ∫₁^∞ f(x)dx birlikte yakınsar/ıraksar.

Alterne Seriler ve Mutlak Yakınsaklık

• Leibniz testi: Σ(−1)ⁿ⁺¹bₙ, bₙ azalan ve lim bₙ = 0 ise yakınsaktır (Σ(−1)ⁿ⁺¹/n yakınsaktır).
• Mutlak yakınsaklık: Σ|aₙ| yakınsaksa Σaₙ mutlak yakınsaktır; mutlak yakınsak seri yakınsaktır. Yakınsak ama mutlak yakınsak olmayan seri koşullu yakınsaktır.

Kuvvet Serileri

• Σ cₙ(x − a)ⁿ biçimindeki seriler; yakınsaklık yarıçapı R oran veya kök testiyle bulunur: |x − a| < R'de mutlak yakınsak, |x − a| > R'de ıraksak; uç noktalar ayrıca incelenir.
• Kuvvet serileri yakınsaklık aralığında terim terim türetilip integrallenebilir. Taylor serileri: eˣ, sin x, cos x için R = ∞; 1/(1 − x) = Σxⁿ için R = 1; ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … (−1 < x ≤ 1).