Çok Değişkenli Fonksiyonlar

Çok Değişkenli Fonksiyonlar

z = f(x, y) biçimindeki fonksiyonlar ℝ² (ya da ℝⁿ) üzerinde tanımlıdır. Grafikleri üç boyutlu yüzeylerdir; seviye (düzey) eğrileri f(x, y) = c eğrileridir (haritadaki izohipsler gibi).

• Limit: lim((x,y)→(a,b)) f(x, y) = L için (a, b)'ye her yoldan yaklaşırken aynı L elde edilmelidir. Farklı yollardan (ör. y = mx doğruları, y = x² eğrisi) farklı değerler bulunursa limit yoktur. Örnek: f = xy/(x² + y²) için y = mx yolunda limit m/(1 + m²) olup m'ye bağlıdır; limit yoktur.
• Süreklilik: f(a, b) tanımlı ve limit f(a, b)'ye eşitse süreklidir.

Kısmi Türevler

• fₓ = ∂f/∂x: y sabit tutularak x'e göre türev; f_y = ∂f/∂y: x sabit tutularak y'ye göre türev.
• İkinci mertebe kısmi türevler: fₓₓ, f_yy, fₓ_y, f_yₓ. Schwarz (Clairaut) teoremi: Karışık kısmi türevler sürekli ise fₓ_y = f_yₓ.
• Zincir kuralı: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) ise dz/dt = fₓ·dx/dt + f_y·dy/dt.
• Tam diferansiyel: dz = fₓ dx + f_y dy; yaklaşık hesaplarda kullanılır.
• Kapalı fonksiyon türevi: F(x, y) = 0 ise dy/dx = −Fₓ/F_y.

Gradyan ve Yönlü Türev

• Gradyan: ∇f = (fₓ, f_y, f_z). Fonksiyonun en hızlı arttığı yönü gösterir; büyüklüğü maksimum artış hızıdır. Gradyan, seviye eğrisine/yüzeyine diktir.
• Yönlü türev: Birim vektör u yönünde D_u f = ∇f · u.
• Teğet düzlem: z = f(x, y) yüzeyine (a, b, f(a,b)) noktasında teğet düzlem: z − f(a,b) = fₓ(a,b)(x − a) + f_y(a,b)(y − b). F(x, y, z) = 0 yüzeyinde normal vektör ∇F'dir.

Ekstremum Problemleri

• Kritik nokta: fₓ = 0 ve f_y = 0.
• İkinci türev testi: D = fₓₓ·f_yy − (fₓ_y)². D > 0 ve fₓₓ > 0 ise yerel minimum; D > 0 ve fₓₓ < 0 ise yerel maksimum; D < 0 ise eyer (semer) noktası; D = 0 ise test sonuç vermez.
• Lagrange çarpanları: g(x, y) = c kısıtı altında f'nin ekstremumu için ∇f = λ∇g ve g = c denklemleri çözülür.

Çok Katlı İntegraller

• İki katlı integral: ∬_R f(x, y) dA; dikdörtgen bölgede Fubini teoremi ile ardışık tek katlı integrallere dönüşür ve integrasyon sırası değiştirilebilir. f = 1 alınırsa bölgenin alanı, f ≥ 0 ise yüzey altındaki hacim bulunur.
• Kutupsal koordinatlar: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ (Jakobiyen r). Daire ve halka bölgelerinde kullanışlıdır.
• Üç katlı integral: ∭ f dV; silindirik (dV = r dr dθ dz) ve küresel (dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ) koordinatlar.
• Değişken dönüşümü: dA = |J| du dv, J = ∂(x, y)/∂(u, v) Jakobiyen determinantıdır.

Vektör Analizi (Giriş)

Eğrisel integral ∫_C F · dr; korunumlu alanlarda (F = ∇φ) eğrisel integral yoldan bağımsızdır. Green teoremi: ∮_C (P dx + Q dy) = ∬_D (Qₓ − P_y) dA. Diverjans (∇·F) ve rotasyonel (∇×F) kavramları; Stokes ve Gauss (diverjans) teoremleri bu sonuçların genellemeleridir.