Soyut Cebir

İkili İşlem ve Cebirsel Yapılar

Bir A kümesi üzerinde ikili işlem, A × A'dan A'ya bir fonksiyondur. İşlemin özellikleri: kapalılık, birleşme, değişme, birim (etkisiz) eleman, ters eleman, dağılma.

Grup

• Grup (G, *): (1) Kapalılık, (2) birleşme, (3) birim elemanın varlığı, (4) her elemanın tersinin varlığı. Değişme özelliği de varsa değişmeli (Abel) grup.
• Örnekler: (ℤ, +), (ℚ, +), (ℝ − {0}, ·), (ℤₙ, +) mod n toplama, n. dereceden birimin kökleri, simetrik grup Sₙ (n! elemanlı; n ≥ 3 için değişmeli değil), dihedral grup Dₙ (düzgün n-genin simetrileri, 2n eleman), GL(n, ℝ) (tersinir matrisler; değişmeli değil). (ℕ, +) grup değildir (ters eleman yok).
• Temel özellikler: Birim eleman ve her elemanın tersi tektir; (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹; sağdan ve soldan kısaltma geçerlidir.
• Elemanın mertebesi: aⁿ = e olan en küçük pozitif n. Grubun mertebesi: eleman sayısı |G|.
• Devirli grup: Tek bir eleman tarafından üretilen grup, G = ⟨a⟩. Her devirli grup değişmelidir; ℤ ve ℤₙ devirli gruplardır. Asal mertebeli her grup devirlidir. ℤₙ'de üreteç sayısı φ(n)'dir.

Alt Grup, Kalan Sınıfları ve Lagrange Teoremi

• Alt grup: H ⊆ G, aynı işleme göre grup ise. Test: H boş değil ve a, b ∈ H için ab⁻¹ ∈ H.
• Kalan sınıfları (kosetler): aH = {ah : h ∈ H}. Kosetler G'yi ayrık parçalara böler.
• Lagrange teoremi: Sonlu G grubunun her alt grubunun mertebesi |G|'yi böler. Sonuç: Her elemanın mertebesi |G|'yi böler; a^|G| = e.
• Normal alt grup: Her g için gHg⁻¹ = H. Değişmeli grupların her alt grubu normaldir. Bölüm grubu G/H normal alt grup ile kurulur.

Homomorfizma ve İzomorfizma

• Homomorfizma: f(a*b) = f(a)∘f(b). Çekirdek ker f normal alt gruptur; f birebirdir ⟺ ker f = {e}.
• İzomorfizma: Birebir ve örten homomorfizma; izomorf gruplar yapısal olarak aynıdır. Aynı mertebeden tüm devirli gruplar izomorftur (ℤₙ'ye).
• Birinci izomorfizma teoremi: G/ker f ≅ f(G).
• Cayley teoremi: Her grup bir permütasyon grubunun alt grubuna izomorftur.

Halka ve Cisim

• Halka (R, +, ·): (R, +) değişmeli grup; çarpma birleşmeli ve toplama üzerine dağılmalı. Örnekler: ℤ, ℤₙ, polinom halkaları, n×n matrisler.
• Sıfır bölen: a ≠ 0, b ≠ 0 ve ab = 0 ise a ve b sıfır bölendir (ℤ₆'da 2·3 = 0).
• Tamlık bölgesi: Birimli, değişmeli ve sıfır böleni olmayan halka (ℤ).
• Cisim (alan): Sıfırdan farklı her elemanın çarpmaya göre tersi olan değişmeli birimli halka (ℚ, ℝ, ℂ, p asal ise ℤₚ). Her cisim tamlık bölgesidir; her sonlu tamlık bölgesi cisimdir.
• İdeal: Halkanın toplamaya göre alt grubu olup halka elemanlarıyla çarpıma kapalı alt küme; bölüm halkası R/I idealle kurulur. ℤ'de idealler nℤ biçimindedir.
• Karakteristik: n·1 = 0 olan en küçük pozitif n; yoksa 0. Cisimlerin karakteristiği 0 ya da asaldır.