İntegral ve Uygulamaları

Belirsiz İntegral

F'(x) = f(x) ise F, f'nin bir ilkel (antitürev) fonksiyonudur: ∫ f(x) dx = F(x) + C. İntegral sabiti C, türevi aynı olan fonksiyonların sabit farkını gösterir.

• Temel formüller: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫ 1/x dx = ln|x| + C; ∫ eˣ dx = eˣ + C; ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C; ∫ sin x dx = −cos x + C; ∫ cos x dx = sin x + C; ∫ 1/cos²x dx = tan x + C; ∫ 1/(1 + x²) dx = arctan x + C; ∫ 1/√(1 − x²) dx = arcsin x + C.
• Değişken değiştirme (yerine koyma): u = g(x), du = g'(x)dx: ∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du.
• Kısmi integrasyon: ∫ u dv = u·v − ∫ v du. u seçiminde LAPTÜ sırası (Logaritma, Ters trigonometrik, Polinom/Aritmetik, Trigonometrik, Üstel) kullanılır.
• Basit kesirlere ayırma: Rasyonel fonksiyonların integralinde paydanın çarpanlarına göre kesirlere ayırma.
• Trigonometrik dönüşümler: √(a² − x²) için x = a·sin t; √(a² + x²) için x = a·tan t; √(x² − a²) için x = a·sec t.

Belirli İntegral

• Riemann toplamı: ∫ₐᵇ f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xᵢ*)·Δx. Kapalı aralıkta sürekli fonksiyon integrallenebilirdir.
• Analizin temel teoremi: (1) F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt ise F'(x) = f(x). (2) ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
• Özellikler: ∫ₐᵃ f = 0; ∫ₐᵇ f = −∫ᵦₐ f; ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫꜀ᵇ f; tek fonksiyon için ∫₋ₐᵃ f = 0; çift fonksiyon için ∫₋ₐᵃ f = 2∫₀ᵃ f.
• Leibniz kuralı: d/dx ∫ₐ₍ₓ₎ᵇ⁽ˣ⁾ f(t) dt = f(b(x))·b'(x) − f(a(x))·a'(x).
• İntegral için ortalama değer teoremi: f, [a, b]'de sürekli ise ∫ₐᵇ f(x) dx = f(c)(b − a) olan bir c vardır; f'nin ortalama değeri (1/(b − a))∫ₐᵇ f.
• Has olmayan (genelleştirilmiş) integraller: Sınırların sonsuz ya da fonksiyonun sınırsız olduğu durumlar; limit ile hesaplanır. ∫₁^∞ 1/xᵖ dx, p > 1 ise yakınsak, p ≤ 1 ise ıraksaktır.

Uygulamalar

• Alan: y = f(x), x ekseni ve x = a, x = b arasındaki alan ∫ₐᵇ |f(x)| dx; iki eğri arasındaki alan ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx (f ≥ g).
• Dönel cisim hacmi: Disk yöntemi V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx (x ekseni etrafında); pul (halka) yöntemi V = π∫ₐᵇ ([f]² − [g]²) dx; silindirik kabuk yöntemi V = 2π∫ₐᵇ x·f(x) dx (y ekseni etrafında).
• Yay uzunluğu: L = ∫ₐᵇ √(1 + [f'(x)]²) dx.
• Dönel yüzey alanı: S = 2π∫ₐᵇ f(x)√(1 + [f'(x)]²) dx.
• Fizik uygulamaları: Hızdan yol (∫ v dt), iş (∫ F dx), kütle merkezi, sıvı basıncı.