Rassal Değişkenler ve Dağılımlar

Rassal Değişkenler

Rassal (tesadüfi) değişken, bir deneyin sonuçlarına sayısal değerler atayan fonksiyondur. Kesikli rassal değişken sayılabilir değerler alır ve olasılık fonksiyonu ile tanımlanır; sürekli rassal değişken bir aralıktaki tüm değerleri alabilir ve olasılık yoğunluk fonksiyonu ile tanımlanır (sürekli değişkende tek bir noktanın olasılığı sıfırdır; olasılıklar alan olarak hesaplanır).

• Beklenen değer: E(X) = Σ x P(x).
• Varyans: Var(X) = E(X²) − [E(X)]².
• Özellikler: E(aX + b) = aE(X) + b; Var(aX + b) = a² Var(X). Bağımsız X ve Y için Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).

Kesikli Olasılık Dağılımları

• Bernoulli dağılımı: Yalnız iki sonucu (başarı/başarısızlık) olan tek bir deneme; ortalama p, varyans p(1 − p).
• Binom dağılımı: Başarı olasılığı p olan n bağımsız Bernoulli denemesinde başarı sayısı. P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}; ortalama = np, varyans = np(1 − p).
• Poisson dağılımı: Belirli bir zaman veya alan aralığında nadir olayların sayısı (bir saatte gelen müşteri sayısı). P(X = k) = e^−λ λ^k / k!; ortalama = varyans = λ. n büyük, p küçük olduğunda binomun yaklaşımı olarak kullanılır.
• Hipergeometrik dağılım: Sonlu bir ana kütleden iadesiz seçimde başarı sayısı.
• Geometrik dağılım: İlk başarıya kadar yapılan deneme sayısı.

Sürekli Olasılık Dağılımları

• Normal dağılım: Çan eğrisi şeklinde, simetrik, ortalama = medyan = mod; μ ve σ parametreleriyle tanımlanır. Ampirik kural: Gözlemlerin yaklaşık yüzde 68'i μ ± 1σ, yüzde 95'i μ ± 2σ, yüzde 99,7'si μ ± 3σ aralığında yer alır.
• Standart normal dağılım: Ortalaması 0, standart sapması 1 olan normal dağılım; dönüşüm Z = (X − μ) / σ ile yapılır.
• Düzgün (uniform) dağılım: Belirli bir aralıktaki tüm değerlerin eşit olasılıklı olduğu dağılım.
• Üstel dağılım: Olaylar arasındaki bekleme süresini modeller (Poisson sürecinde); belleksizlik özelliği vardır.
• Örnekleme dağılımları: t dağılımı (küçük örneklemlerde, ana kütle varyansı bilinmediğinde; serbestlik derecesi arttıkça normale yaklaşır), ki-kare (χ²) dağılımı (varyans ve bağımsızlık testlerinde; pozitif değerli ve sağa çarpık), F dağılımı (iki varyansın oranı; varyans analizinde).

Merkezi Limit Teoremi

Ana kütlenin dağılımı ne olursa olsun, örneklem büyüklüğü yeterince büyük olduğunda (genellikle n ≥ 30) örneklem ortalamalarının dağılımı normal dağılıma yaklaşır. Örneklem ortalamasının beklenen değeri μ, standart hatası σ / √n'dir. Bu teorem, çıkarımsal istatistiğin temelini oluşturur.