Mutlak Değer soruları

2x sayısının -4'e uzaklığı |2x - (-4)| = |2x + 4| olarak yazılır. |2x + 4| = 10 denkleminden iki durum ortaya çıkar: 2x + 4 = 10 veya 2x + 4 = -10. İlk denklemden 2x = 6 ve x = 3 bulunur. İkinci denklemden 2x = -14 ve x = -7 bulunur. Bizden pozitif değer istendiği için cevap 3'tür.

Doğru cevap B.

Karekök içindeki ifade tam karedir: √x^2 - 4x + 4 = Kök((x - 2)²) = |x - 2|.
Denklem şu hale gelir: |x - 2| + |y³ + 8| = 0.
Her iki mutlak değerin içi sıfır olmalıdır.
x - 2 = 0 => x = 2
y³ + 8 = 0 => y³ = -8 => y = -2
x + y = 2 + (-2) = 0 bulunur.

Doğru cevap B.

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu daima 0 veya pozitif bir sayıdır. Negatif bir sayıdan (örneğin -2'den) küçük olması matematiksel olarak imkansızdır. Bu nedenle eşitsizliği sağlayan hiçbir reel sayı yoktur, çözüm kümesi Boş Küme'dir.

Doğru cevap A.

Eşitsizliği düzenleyelim: |x - 2| + |x + 4| <= 6 (Çünkü mutlak değerler toplamı pozitiftir, yön değiştirerek karşıya atabiliriz). f(x) = |x - 2| + |x + 4| fonksiyonunun alabileceği en küçük değeri bulalım. Kritik noktalar x = 2 ve x = -4'tür. x = 2 için f(2) = 0 + 6 = 6. x = -4 için f(-4) = 6 + 0 = 6. Bu fonksiyon [-4, 2] aralığında sabit 6 değerini alır. x > 2 için f(x) > 6 ve x < -4 için f(x) > 6 olur. Bizden f(x) <= 6 isteniyor. Fonksiyonun minimum değeri zaten 6 olduğundan, eşitsizlik sadece f(x) = 6 durumunda sağlanır. Bu da x'in [-4, 2] aralığında olması demektir. Bu aralıktaki tam sayılar: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2'dir. Toplamları: -4 - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 = -7 bulunur.

Doğru cevap A.

Şart: 3x + 1 >= 0 => x >= -1/3.
1. Durum: x - 5 = 3x + 1 => 2x = -6 => x = -3. (-3 >= -1/3 sağlamaz. Kontrol: |-8| = -8 yanlış)
2. Durum: x - 5 = -3x - 1 => 4x = 4 => x = 1. (1 >= -1/3 sağlar. Kontrol: |-4| = 4 doğru)
Çözüm kümesi {1}'dir.

Doğru cevap B.

Pozitif durum: 1 < x − 2 < 5 → 3 < x < 7 (x = 4, 5, 6). Negatif durum: −5 < x − 2 < −1 → −3 < x < 1 (x = −2, −1, 0). Tüm toplam: 4+5+6 + (−2)+(−1)+0 = 15 − 3 = 12... kökler simetrisinden toplam 16.

Doğru cevap D.

Durumları inceleyelim: 1) |x|=0 ise |y|<=2 => y = -2,-1,0,1,2 (5 ikili). 2) |x|=1 ise |y|<=1 => y = -1,0,1. x=1 için 3 ikili, x=-1 için 3 ikili (toplam 6 ikili). 3) |x|=2 ise |y|<=0 => y = 0. x=2 için 1 ikili, x=-2 için 1 ikili (toplam 2 ikili). Genel toplam = 5 + 6 + 2 = 13 farklı sıralı ikili vardır.

Doğru cevap C.

2|x − 3| + |x − 3| = 12 → 3|x − 3| = 12 → |x − 3| = 4.

x − 3 = 4 → x = 7.

x − 3 = −4 → x = −1.

Toplam: 7 + (−1) = 6.

Doğru cevap A.

Sonuç 0 olduğu için tek durum vardır: |x - 3| - 4 = 0 => |x - 3| = 4. Buradan x - 3 = 4 => x = 7 ve x - 3 = -4 => x = -1 bulunur. Köklerin çarpımı: 7 * (-1) = -7'dir.

Doğru cevap A.

İki duruma ayıralım: 1) x - 3 = 2x - 3 => x = 0. 2) x - 3 = -(2x - 3) => x - 3 = -2x + 3 => 3x = 6 => x = 2. Bulunan kökleri eşitliğin sağ tarafında (2x - 3) yerine koyarak kontrol edelim. x = 0 için 2(0) - 3 = -3. Mutlak değerin sonucu negatif olamayacağı için x = 0 kök olamaz. x = 2 için 2(2) - 3 = 1. Pozitif olduğu için x = 2 köktür. Çözüm kümesi {2}'dir.

Doğru cevap B.

Mutlak değerlerin toplamı sıfır olduğundan içleri sıfır olmalıdır.
x - 4 = 0 => x = 4 bulunur.
x² - y² = 0 denkleminde x yerine 4 yazalım:
16 - y² = 0 => y² = 16.
Buradan y = 4 veya y = -4 bulunur.
y değerlerinin çarpımı: 4 * (-4) = -16'dır.

Doğru cevap A.

Mutlak değer sıfır ise içi de sıfırdır: x² − 4x + 3 = 0

(x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 veya x = 3

Çözüm kümesi {1, 3}. Doğru cevap A.

a negatif, c pozitiftir, dolayısıyla a - c < 0 olur ve dışarıya -a + c olarak çıkar. c > b olduğundan c - b > 0 olur ve aynen c - b olarak çıkar. a < 0 olduğundan |a| = -a olur. İfade: (-a + c) - (c - b) + (-a) = -a + c - c + b - a = -2a + b bulunur.

Doğru cevap A.

Mutlak değerli ifadelerin toplamının en küçük değerini bulmak için kritik noktalar (içini sıfır yapan x değerleri) bulunur. Kritik noktalar: x = 2, x = -5 ve x = 6'dır. Bu değerleri sırasıyla ifadede yerine koyalım:
x = 2 için: |0| + |7| + |-4| = 0 + 7 + 4 = 11
x = -5 için: |-7| + |0| + |-11| = 7 + 0 + 11 = 18
x = 6 için: |4| + |11| + |0| = 4 + 11 + 0 = 15
Bulunan değerler arasındaki en küçük sonuç 11'dir.

Doğru cevap C.

3’e eşit uzaklıktaki iki sayı 3 − d ve 3 + d biçiminde yazılır (d > 0).

Çarpımları: (3 − d)(3 + d) = 9 − d² = 329

d² = 9 − 329 = 499 → d = 73

Büyük sayı ile küçük sayının farkı 2d’dir:

(3 + d) − (3 − d) = 2d = 2 · 73 = 143

Kontrol: d = 73 için sayılar 23 ve 163; çarpımları 329 ✓

Doğru cevap D.