Türev ve Uygulamaları

Türevin Tanımı

f'nin a noktasındaki türevi: f'(a) = lim(h→0) [f(a + h) − f(a)] / h (limit varsa). Geometrik anlamı, eğriye (a, f(a)) noktasında çizilen teğetin eğimidir; fiziksel anlamı anlık değişim hızıdır. Türevli fonksiyon süreklidir; ancak sürekli her fonksiyon türevli değildir (|x| fonksiyonu x = 0'da sürekli ama türevsizdir; sivri nokta).

Türev Kuralları

• (c)' = 0; (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹; (c·f)' = c·f'; (f ± g)' = f' ± g'.
• Çarpım: (f·g)' = f'g + fg'. Bölüm: (f/g)' = (f'g − fg')/g². Zincir kuralı: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x).
• (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x; (tan x)' = 1 + tan²x = 1/cos²x; (cot x)' = −(1 + cot²x).
• (eˣ)' = eˣ; (aˣ)' = aˣ·ln a; (ln x)' = 1/x; (logₐ x)' = 1/(x·ln a).
• (arcsin x)' = 1/√(1 − x²); (arccos x)' = −1/√(1 − x²); (arctan x)' = 1/(1 + x²).
• Kapalı fonksiyon türevi: F(x, y) = 0 ise dy/dx = −Fₓ/F_y. Parametrik türev: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt). Ters fonksiyon türevi: (f⁻¹)'(b) = 1/f'(a), b = f(a).

Ortalama Değer Teoremleri

• Rolle teoremi: f, [a, b]'de sürekli, (a, b)'de türevli ve f(a) = f(b) ise f'(c) = 0 olan en az bir c ∈ (a, b) vardır.
• Ortalama değer teoremi (Lagrange): f'(c) = [f(b) − f(a)]/(b − a) olan bir c ∈ (a, b) vardır.
• L'Hospital kuralı: 0/0 veya ∞/∞ belirsizliğinde lim f/g = lim f'/g'.

Türevin Uygulamaları

• Teğet ve normal denklemi: Teğet: y − f(a) = f'(a)(x − a); normalin eğimi −1/f'(a).
• Artan-azalan: f' > 0 olan aralıkta artan, f' < 0 olan aralıkta azalandır.
• Ekstremum: Kritik noktalar f'(x) = 0 ya da türevin tanımsız olduğu noktalar. Birinci türev testi: f' işaret değiştiriyorsa (+'dan −'ye maksimum, −'den +'ya minimum). İkinci türev testi: f'(a) = 0 ve f''(a) < 0 ise yerel maksimum, f''(a) > 0 ise yerel minimum.
• Konkavlık ve büküm: f'' > 0 ise eğri yukarı (konveks), f'' < 0 ise aşağı bükük; f'' işaret değiştiren noktalar büküm (dönüm) noktasıdır.
• Optimizasyon problemleri: Alan, hacim, maliyet gibi büyüklüklerin en büyük/en küçük değerini bulma.
• İlişkili hız (oran) problemleri: Zamana göre türev alarak değişim hızları arasındaki ilişkiyi bulma.
• Hareket: Konum s(t), hız v = s'(t), ivme a = v'(t) = s''(t).
• Taylor ve Maclaurin açılımı: f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!. eˣ = 1 + x + x²/2! + …; sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …; cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ….
• Diferansiyel ve yaklaşık değer: f(a + Δx) ≈ f(a) + f'(a)·Δx (doğrusal yaklaşım).