Öklid Geometrisi

Öklid Geometrisinin Temelleri

Öklid'in Elemanlar (Elementler) adlı eseri; tanımlar, ortak kavramlar (aksiyomlar) ve beş postulat üzerine kurulmuştur. Beşinci postulat (paralellik postulatı): Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel çizilebilir (Playfair biçimi). Bu postulatın reddedilmesiyle Öklid dışı geometriler doğmuştur: Hiperbolik geometri (Lobaçevski, Bolyai; sonsuz paralel, üçgen iç açıları toplamı < 180°) ve eliptik/küresel geometri (Riemann; hiç paralel yok, iç açılar toplamı > 180°). Hilbert Öklid geometrisini modern aksiyomatik temele oturtmuştur.

Doğrular ve Açılar

• Komşu bütünler açılar toplamı 180°, tümler açılar toplamı 90°; ters açılar eşittir.
• İki paralel doğruyu kesen doğrunun oluşturduğu yöndeş açılar ve iç ters açılar eşit, karşı durumlu (aynı taraftaki iç) açılar bütünlerdir.

Üçgenler

• İç açılar toplamı 180°; bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
• Üçgen eşitsizliği: |b − c| < a < b + c.
• Eşlik (≅) kuralları: KAK, AKA, KKK, AAK; dik üçgende hipotenüs-kenar.
• Benzerlik kuralları: AA, KAK (orantılı iki kenar ve aradaki açı), KKK (üç kenar orantılı). Benzer üçgenlerde alanlar oranı benzerlik oranının karesi, hacimler oranı küpüdür.
• Temel teoremler: Tales (paralel doğruların kestiği doğru parçaları orantılı), temel orantı teoremi, açıortay teoremi (iç açıortay karşı kenarı komşu kenarlar oranında böler), kenarortay teoremi (2·Vₐ² = b² + c² − a²/2 biçiminde; Apollonius), Menelaus ve Ceva teoremleri, Stewart teoremi.
• Dik üçgen: Pisagor (a² + b² = c²), Öklid bağıntıları (h² = p·k; b² = k·c; a² = p·c), hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır. Özel üçgenler: 30-60-90 (1 : √3 : 2), 45-45-90 (1 : 1 : √2).
• Üçgende özel noktalar: Kenarortayların kesiştiği ağırlık merkezi (kenarortayları 2:1 oranında böler), açıortayların kesiştiği iç teğet çemberin merkezi, kenar orta dikmelerinin kesiştiği çevrel çemberin merkezi, yüksekliklerin kesiştiği diklik merkezi. Ağırlık merkezi, diklik merkezi ve çevrel merkez Euler doğrusu üzerindedir.
• Alan formülleri: (taban × yükseklik)/2; (1/2)·a·b·sin C; Heron: √(u(u−a)(u−b)(u−c)), u yarı çevre; A = r·u (iç teğet yarıçapı r); A = abc/(4R) (çevrel yarıçap R).
• Sinüs teoremi: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2bc·cos A.

Çokgenler ve Dörtgenler

• n kenarlı çokgende iç açılar toplamı (n − 2)·180°; dış açılar toplamı 360°; köşegen sayısı n(n − 3)/2.
• Dörtgenler: Paralelkenar (karşılıklı kenarlar paralel ve eşit, köşegenler birbirini ortalar), dikdörtgen (köşegenler eşit), eşkenar dörtgen (köşegenler dik ve açıortay), kare, yamuk (orta taban = (a + c)/2), deltoid (köşegenler dik).
• Kirişler dörtgeninde karşı açılar bütünlerdir; Ptolemy (Batlamyus) teoremi: köşegenlerin çarpımı karşılıklı kenar çarpımları toplamına eşittir.

Çember ve Daire

• Açılar: Merkez açı gördüğü yaya eşit; çevre açı gördüğü yayın yarısı; çapı gören çevre açı 90°; teğet-kiriş açısı gördüğü yayın yarısı.
• Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar; teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir; dış noktadan çizilen teğet parçaları eşittir.
• Kuvvet (güç) teoremleri: Kesişen kirişler PA·PB = PC·PD; dış noktadan kesen ve teğet: PT² = PA·PB.
• Çevre 2πr, alan πr²; yay uzunluğu (α/360)·2πr; daire dilimi alanı (α/360)·πr².

Katı Cisimler

Prizma hacmi = taban alanı × yükseklik; piramit hacmi = (taban alanı × yükseklik)/3; silindir πr²h; koni πr²h/3; küre hacmi (4/3)πr³, yüzey alanı 4πr². Euler formülü (konveks çok yüzlüler): K − A + Y = 2 (köşe − ayrıt + yüz). Beş düzgün çok yüzlü (Platon cisimleri): dörtyüzlü, küp, sekizyüzlü, onikiyüzlü, yirmiyüzlü.