Olasılık Kuramı

Temel Kavramlar

• Deney: Sonucu önceden kesin bilinemeyen işlem (zar atma).
• Örnek uzay (S): Bir deneyin bütün olası sonuçlarının kümesi.
• Olay: Örnek uzayın bir alt kümesi.
• Olasılık: Bir olayın gerçekleşme şansını 0 ile 1 arasında ifade eden sayı. P(S) = 1, P(∅) = 0.

Olasılık Yaklaşımları

• Klasik (a priori) olasılık: Sonuçların eşit olasılıklı olduğu durumda P(A) = A'ya uygun sonuç sayısı / toplam sonuç sayısı.
• Göreli frekans (deneysel) olasılık: Deneyin çok sayıda tekrarlanmasıyla gözlenen göreli frekans; büyük sayılar kanununa göre deney sayısı arttıkça gerçek olasılığa yaklaşır.
• Öznel (subjektif) olasılık: Kişisel yargı ve deneyime dayalı olasılık.

Olasılık Kuralları

• Tümleyen kuralı: P(A') = 1 − P(A).
• Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Olaylar ayrık (bağdaşmaz) ise P(A ∩ B) = 0 ve P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• Koşullu olasılık: B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A'nın olasılığı: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).
• Çarpma kuralı: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A). Olaylar bağımsız ise P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ve P(A | B) = P(A).
• Ayrık olaylar ile bağımsız olaylar farklıdır: Olasılıkları sıfırdan büyük iki ayrık olay bağımsız olamaz.
• Toplam olasılık kuralı ve Bayes teoremi: Gözlenen bir sonuca dayanarak nedenlere ilişkin olasılıkların güncellenmesi: P(A_i | B) = P(A_i) P(B | A_i) / Σ P(A_j) P(B | A_j). Önsel (prior) olasılıklardan sonsal (posterior) olasılıklara geçişi sağlar.

Sayma Teknikleri

• Temel sayma (çarpma) ilkesi: Birinci işlem m, ikinci işlem n farklı şekilde yapılabiliyorsa ikisi birlikte m × n farklı şekilde yapılır.
• Faktöriyel: n! = n × (n − 1) × ... × 1; 0! = 1.
• Permütasyon (sıralama önemli): n elemandan r tanesinin sıralı seçimi: P(n, r) = n! / (n − r)!.
• Kombinasyon (sıralama önemsiz): n elemandan r tanesinin seçimi: C(n, r) = n! / [r! (n − r)!].

Örnek

Bir torbada 3 kırmızı ve 2 mavi top vardır. İadesiz olarak çekilen iki topun ikisinin de kırmızı olma olasılığı: P = (3/5) × (2/4) = 6/20 = 0,30. İadeli çekilişte ise olaylar bağımsızdır ve olasılık (3/5) × (3/5) = 0,36 olur.

Beklenen Değer

Rassal bir sonucun beklenen değeri, olası değerlerin olasılıklarıyla ağırlıklandırılmış ortalamasıdır: E(X) = Σ x × P(x). Karar teorisinde beklenen değer ölçütü, belirsizlik altında seçenekleri karşılaştırmada kullanılır.