Diferansiyel Denklemler

Temel Kavramlar

• Diferansiyel denklem: Bilinmeyen fonksiyon ve türevlerini içeren denklem. Adi (tek bağımsız değişken) ve kısmi (birden çok bağımsız değişken) diferansiyel denklemler.
• Mertebe: Denklemdeki en yüksek türevin mertebesi. Derece: En yüksek mertebeli türevin (kesirli ve kökten kurtarıldıktan sonra) kuvveti.
• Lineer denklem: Bilinmeyen fonksiyon ve türevleri birinci dereceden ve birbirleriyle çarpılmamış.
• Genel çözüm mertebe sayısı kadar keyfî sabit içerir; başlangıç koşuluyla özel çözüm bulunur. Hiçbir sabit değeriyle genel çözümden elde edilemeyen çözüme tekil çözüm denir.
• Varlık-teklik teoremi (Picard): y' = f(x, y), y(x₀) = y₀ probleminde f ve ∂f/∂y sürekli ise x₀ civarında tek çözüm vardır.

Birinci Mertebe Denklemler

• Değişkenlerine ayrılabilen: dy/dx = g(x)h(y) → ∫ dy/h(y) = ∫ g(x) dx.
• Homojen denklem: dy/dx = F(y/x); y = vx dönüşümüyle ayrılabilir hâle gelir.
• Tam diferansiyel denklem: M dx + N dy = 0, ∂M/∂y = ∂N/∂x ise tamdır; çözüm F(x, y) = C, Fₓ = M, F_y = N. Tam değilse integrasyon çarpanı aranır (ör. (M_y − Nₓ)/N yalnız x'e bağlıysa μ(x) = e^∫((M_y − Nₓ)/N)dx).
• Lineer birinci mertebe: y' + P(x)y = Q(x); integrasyon çarpanı μ = e^∫P dx; çözüm y = (1/μ)[∫ μQ dx + C].
• Bernoulli denklemi: y' + P(x)y = Q(x)yⁿ; v = y¹⁻ⁿ dönüşümüyle lineer hâle gelir.
• Riccati ve Clairaut (y = xy' + f(y'); genel çözüm y = cx + f(c), ayrıca tekil çözüm) denklemleri.

Yüksek Mertebeden Lineer Denklemler

• Sabit katsayılı homojen: ay'' + by' + cy = 0; karakteristik denklem ar² + br + c = 0. (1) Farklı reel kökler r₁, r₂: y = c₁e^(r₁x) + c₂e^(r₂x). (2) Çakışık kök r: y = (c₁ + c₂x)e^(rx). (3) Karmaşık kökler α ± βi: y = e^(αx)(c₁ cos βx + c₂ sin βx).
• Wronskiyen: W(y₁, y₂) = y₁y₂' − y₁'y₂; W ≠ 0 ise çözümler lineer bağımsızdır (temel çözüm kümesi).
• Homojen olmayan denklem: Genel çözüm = homojen çözüm (yₕ) + özel çözüm (yₚ). Özel çözüm için belirsiz katsayılar yöntemi (sağ taraf polinom, üstel, sinüs-kosinüs ise) ya da parametrelerin değişimi (Lagrange) yöntemi.
• Euler-Cauchy denklemi: ax²y'' + bxy' + cy = 0; y = xʳ denenir.

Diğer Yöntemler ve Uygulamalar

• Laplace dönüşümü: L{f(t)} = ∫₀^∞ e^(−st) f(t) dt; başlangıç değer problemlerini cebirsel denkleme çevirir. L{1} = 1/s, L{eᵃᵗ} = 1/(s − a), L{sin at} = a/(s² + a²), L{f'} = sF(s) − f(0).
• Kuvvet serisi çözümleri ve lineer denklem sistemleri (matris yöntemi, özdeğerlerle).
• Uygulamalar: Nüfus artışı ve radyoaktif bozunma (dy/dt = ky → y = y₀eᵏᵗ), Newton'un soğuma yasası (dT/dt = −k(T − Tₒ)), lojistik büyüme (dP/dt = kP(1 − P/M)), RC-RL devreleri, yay-kütle sistemleri ve harmonik hareket (my'' + ky = 0), dik yörüngeler.