Diferansiyel Geometri

Diferansiyel Geometrinin Konusu

Diferansiyel geometri, eğri ve yüzeylerin geometrik özelliklerini diferansiyel ve integral hesap yöntemleriyle inceler. ÖABT kapsamında ağırlıklı olarak uzay eğrileri (Frenet çatısı, eğrilik, burulma) ve yüzeylerin temel kavramları sorulur.

Eğriler

• Parametrik eğri: α: I → ℝ³, α(t) = (x(t), y(t), z(t)). Regüler eğri: Her noktada α'(t) ≠ 0.
• Hız vektörü α'(t), sürat ‖α'(t)‖. Yay uzunluğu: s = ∫ₐᵇ ‖α'(t)‖ dt.
• Birim hızlı (yay uzunluğu ile parametrelenmiş) eğri: ‖α'(s)‖ = 1. Her regüler eğri yay uzunluğu ile yeniden parametrelenebilir.

Frenet (Serret-Frenet) Çatısı

• Teğet vektör: T = α'/‖α'‖.
• Asli normal vektör: N = T'/‖T'‖. Binormal vektör: B = T × N. {T, N, B} ortonormal, sağ elli bir çatıdır.
• Frenet formülleri (birim hızlı eğride): T' = κN; N' = −κT + τB; B' = −τN.
• Eğrilik (κ): Eğrinin doğrudan sapma ölçüsü. κ = ‖T'(s)‖; genel parametrede κ = ‖α' × α''‖ / ‖α'‖³. Doğrunun eğriliği 0; r yarıçaplı çemberin eğriliği 1/r. Eğrilik yarıçapı ρ = 1/κ.
• Burulma (torsiyon, τ): Eğrinin düzlemden sapma ölçüsü. τ = (α' × α'') · α''' / ‖α' × α''‖². Düzlemsel eğrilerde τ = 0.
• Oskülatör (öpücük) düzlem: T ve N tarafından gerilen düzlem; normal düzlem N ve B; doğrultucu (rektifiyan) düzlem T ve B tarafından gerilir.
• Helis: α(t) = (a cos t, a sin t, bt); eğriliği κ = a/(a² + b²) ve burulması τ = b/(a² + b²) sabittir. Lancret teoremi: Bir eğri genel helistir ⟺ τ/κ sabittir.
• Eğrilerin temel teoremi: κ(s) > 0 ve τ(s) verildiğinde bu eğrilik ve burulmaya sahip birim hızlı eğri, katı hareketler dışında tektir.

Düzlem Eğrileri

Düzlemde işaretli eğrilik: y = f(x) için κ = |y''| / (1 + y'²)^(3/2). Evolüt, eğrilik merkezlerinin geometrik yeri; involüt, evolütün tersi kavramıdır.

Yüzeyler

• Parametrik yüzey: X(u, v); regüler yüzeyde Xᵤ × Xᵥ ≠ 0. Birim normal N = (Xᵤ × Xᵥ)/‖Xᵤ × Xᵥ‖.
• Birinci temel form: I = E du² + 2F du dv + G dv² (E = Xᵤ·Xᵤ, F = Xᵤ·Xᵥ, G = Xᵥ·Xᵥ). Yüzey üzerindeki uzunluk, açı ve alanı ölçer: alan elemanı √(EG − F²) du dv.
• İkinci temel form: II = e du² + 2f du dv + g dv²; yüzeyin uzayda nasıl büküldüğünü ölçer.
• Gauss eğriliği: K = (eg − f²)/(EG − F²) = κ₁κ₂ (asli eğriliklerin çarpımı). Ortalama eğrilik: H = (κ₁ + κ₂)/2. Düzlemde K = 0; r yarıçaplı kürede K = 1/r²; silindirde K = 0 (açılabilir yüzey). Minimal yüzey: H = 0.
• Gauss'un Theorema Egregium'u: Gauss eğriliği yalnız birinci temel formla belirlenir (içsel bir özelliktir); bu yüzden küre bozulmadan düzleme açılamaz (haritacılıkta projeksiyon bozulmalarının sebebi).
• Jeodezik: Yüzey üzerinde iki nokta arasındaki en kısa yollar; kürede büyük çember yayları.