Varyans Analizi

Varyans Analizinin Amacı

Varyans analizi (ANOVA), üç veya daha fazla grubun ortalamaları arasında anlamlı fark olup olmadığını tek bir testle sınayan yöntemdir. Ronald A. Fisher tarafından geliştirilmiştir. Birden fazla t testi yapılması I. tip hata olasılığını artıracağı için ANOVA tercih edilir.

• Hipotezler: H₀: μ₁ = μ₂ = ... = μ_k (tüm grup ortalamaları eşittir); H₁: En az bir grup ortalaması farklıdır.
• Temel fikir: Toplam değişkenlik, gruplar arası değişkenlik (grup ortalamalarının genel ortalamadan sapmaları; işlem etkisi) ve gruplar içi değişkenlik (gözlemlerin kendi grup ortalamalarından sapmaları; hata) olarak ikiye ayrılır.

Tek Yönlü Varyans Analizi

• Kareler toplamı ayrıştırması: KT_toplam = KT_{gruplar arası} + KT_{gruplar içi (hata)}.
• Serbestlik dereceleri: Gruplar arası k − 1; gruplar içi N − k; toplam N − 1 (k: grup sayısı, N: toplam gözlem sayısı).
• Kareler ortalaması: KO = KT / serbestlik derecesi.
• Test istatistiği: F = KO_{gruplar arası} / KO_{gruplar içi}; F dağılımına uyar. Hesaplanan F değeri tablo (kritik) değerinden büyükse veya p-değeri α'dan küçükse H₀ reddedilir.
• F değerinin büyük olması, gruplar arası farkın tesadüfî hatadan büyük olduğunu gösterir.

Varsayımlar

• Her grubun ana kütlesinin normal dağılımlı olması.
• Grup varyanslarının homojen (eşit) olması; Levene veya Bartlett testleriyle sınanır.
• Gözlemlerin bağımsız olması ve bağımlı değişkenin en az aralık ölçeğinde ölçülmesi.
• Varsayımlar sağlanmazsa parametrik olmayan karşılığı olan Kruskal-Wallis H testi kullanılır.

Çoklu Karşılaştırma (Post-Hoc) Testleri

ANOVA, H₀ reddedildiğinde yalnız "en az bir ortalamanın farklı" olduğunu söyler; hangi grupların farklı olduğunu göstermez. Bunun için Tukey (HSD), Scheffé, Bonferroni, Duncan, LSD gibi post-hoc testler uygulanır. Varyanslar homojen değilse Games-Howell veya Tamhane testleri kullanılır.

İki Yönlü ve Diğer Varyans Analizleri

• İki yönlü ANOVA: İki bağımsız değişkenin (faktörün) bağımlı değişken üzerindeki ana etkilerini ve etkileşim etkisini birlikte inceler. Örneğin öğretim yöntemi ve cinsiyetin başarı üzerindeki etkisi.
• Tekrarlı ölçümler ANOVA: Aynı birimlerin farklı zamanlarda veya koşullarda ölçüldüğü durumlarda.
• Kovaryans analizi (ANCOVA): Bağımlı değişkeni etkileyen ortak değişkenin (kovaryat) etkisi kontrol edilerek grup farklarının incelenmesi.
• Çok değişkenli varyans analizi (MANOVA): Birden fazla bağımlı değişkenin aynı anda analiz edilmesi.

Etki Büyüklüğü

İstatistiksel anlamlılığın yanında farkın pratik önemini göstermek için eta-kare (η²) hesaplanır: η² = KT_{gruplar arası} / KT_toplam; bağımlı değişkendeki toplam varyansın ne kadarının gruplar tarafından açıklandığını gösterir.