Dönme Hareketi ve Kütle Çekimi

Dönme Kinematiği

• Açısal yer değiştirme θ (radyan), açısal hız ω = dθ/dt, açısal ivme α = dω/dt.
• Sabit açısal ivmeli dönme: ω = ω₀ + αt; θ = ω₀t + (1/2)αt²; ω² = ω₀² + 2αθ.
• Çizgisel-açısal ilişkiler: s = rθ; v = rω; teğetsel ivme a_t = rα; merkezcil ivme a_m = ω²r.

Tork ve Eylemsizlik Momenti

• Tork (dönme momenti): τ = r × F; büyüklüğü τ = r·F·sin θ (N·m). Kuvvet doğrultusu dönme ekseninden geçerse tork sıfırdır.
• Eylemsizlik momenti: I = Σmᵢrᵢ²; kütlenin dönme eksenine göre dağılımına bağlıdır. Örnekler: ince halka (merkezden) MR²; dolu disk veya silindir (1/2)MR²; dolu küre (2/5)MR²; içi boş küre (2/3)MR²; ince çubuk merkezden (1/12)ML², uçtan (1/3)ML².
• Paralel eksen (Steiner) teoremi: I = I_KM + Md².
• Dönme için Newton'un ikinci yasası: τ_net = I·α.

Dönme Enerjisi ve Açısal Momentum

• Dönme kinetik enerjisi: E = (1/2)Iω². Kaymadan yuvarlanan cisimde toplam kinetik enerji (1/2)Mv² + (1/2)Iω², v = ωR.
• Eğik düzlemden kaymadan yuvarlanan cisimlerde eylemsizlik momenti küçük olan (dolu küre > dolu silindir > halka sırasıyla) daha hızlı iner; çünkü potansiyel enerjinin daha büyük kısmı öteleme kinetik enerjisine dönüşür.
• Açısal momentum: L = I·ω (katı cisim); tek parçacık için L = r × p = m·v·r. τ = dL/dt.
• Açısal momentumun korunumu: Dış tork sıfırsa L sabittir: I₁ω₁ = I₂ω₂. Kollarını kapatan buz patencisinin eylemsizlik momenti azalır, açısal hızı artar.
• Statik denge: ΣF = 0 ve Στ = 0. Ağırlık merkezi; kaldıraç ilkesi (kuvvet × kuvvet kolu = yük × yük kolu).

Kütle Çekimi

• Newton'un evrensel çekim yasası: F = G·m₁m₂/r²; G ≈ 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² (Cavendish deneyiyle ölçüldü).
• Çekim alanı (yer çekimi ivmesi): g = GM/r². Yüzeyde g₀ = GM/R²; yüzeyden h yükseklikte g = GM/(R + h)². Gezegen içinde (homojen kabul) merkeze doğru doğrusal azalır, merkezde sıfırdır. Dünya'nın dönmesi ve basıklığı nedeniyle g kutuplarda en büyük, Ekvator'da en küçüktür.
• Kütle çekim potansiyel enerjisi: U = −GMm/r (sonsuzda sıfır).
• Kurtulma hızı: v_k = √(2GM/R) (Dünya için ≈ 11,2 km/s).
• Dairesel yörünge hızı: v = √(GM/r); periyot T = 2π√(r³/GM). Uydunun toplam enerjisi E = −GMm/(2r); kinetik enerjisi potansiyel enerjinin mutlak değerinin yarısıdır.
• Yer durağan (jeostatik) uydu: Periyodu 24 saat, Ekvator düzleminde, yüksekliği yaklaşık 36.000 km.

Kepler Yasaları

• 1. yasa (yörüngeler): Gezegenler Güneş'in odaklardan birinde bulunduğu elips yörüngelerde dolanır.
• 2. yasa (alanlar): Gezegeni Güneş'e bağlayan doğru eşit zamanlarda eşit alanlar tarar; gezegen Güneş'e yakınken (günberi) hızlı, uzakken (günöte) yavaş hareket eder. Açısal momentumun korunumunun sonucudur.
• 3. yasa (periyotlar): T² ∝ a³ (a: yörüngenin yarı büyük ekseni); T²/a³ aynı merkezî cisim etrafındaki tüm gezegenler için sabittir.