Analitik Geometri

Noktanın Analitik İncelenmesi

• İki nokta arası uzaklık: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
• Orta nokta: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Bir doğru parçasını k oranında bölen nokta: ((x₁ + k·x₂)/(1 + k), (y₁ + k·y₂)/(1 + k)).
• Üçgenin ağırlık merkezi: köşe koordinatlarının aritmetik ortalaması. Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanı determinant (ayakkabı bağı) yöntemiyle: (1/2)|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|.

Doğrunun Analitik İncelenmesi

• Eğim: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan α (α, doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı).
• Doğru denklemleri: y − y₁ = m(x − x₁); y = mx + n; ax + by + c = 0 (eğim −a/b); eksenleri kestiği noktalar biliniyorsa x/a + y/b = 1.
• Paralellik: m₁ = m₂. Diklik: m₁·m₂ = −1.
• Noktanın doğruya uzaklığı: d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Paralel iki doğru arası uzaklık: |c₁ − c₂| / √(a² + b²).
• İki doğru arasındaki açı: tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)|.

Konikler

• Çember: (x − a)² + (y − b)² = r²; genel denklem x² + y² + Dx + Ey + F = 0, merkez (−D/2, −E/2), r = (1/2)√(D² + E² − 4F). Doğru-çember durumu: merkezin doğruya uzaklığı d < r ise kesen, d = r ise teğet, d > r ise kesişmez.
• Elips: İki sabit noktaya (odaklar) uzaklıkları toplamı sabit (2a) olan noktalar kümesi. x²/a² + y²/b² = 1 (a > b), c² = a² − b², dışmerkezlik e = c/a < 1.
• Hiperbol: Odaklara uzaklıkları farkının mutlak değeri sabit (2a). x²/a² − y²/b² = 1, c² = a² + b², e = c/a > 1, asimptotlar y = ±(b/a)x.
• Parabol: Sabit bir noktaya (odak) ve sabit bir doğruya (doğrultman) eşit uzaklıktaki noktalar. y² = 4px (odak (p, 0), doğrultman x = −p); e = 1. y = ax² + bx + c parabolünün tepe noktası (−b/2a, f(−b/2a)).
• Genel ikinci derece denklem Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0'da diskriminant B² − 4AC: < 0 elips (veya çember), = 0 parabol, > 0 hiperbol.

Dönüşümler

• Öteleme: (x, y) → (x + a, y + b).
• Simetri: x eksenine göre (x, −y); y eksenine göre (−x, y); orijine göre (−x, −y); y = x doğrusuna göre (y, x); y = −x doğrusuna göre (−y, −x).
• Dönme: Orijin etrafında θ kadar: (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). 90° dönme: (−y, x).

Uzay Analitik Geometrisi

• Vektörler: iç çarpım u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = |u||v|cos θ; vektörel çarpım u × v (her ikisine dik, büyüklüğü paralelkenar alanı); karma çarpım u·(v × w) (paralelyüzün hacmi).
• Doğru: Parametrik (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t(a, b, c). Düzlem: a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0, normal vektör (a, b, c). Noktanın düzleme uzaklığı |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²).
• Küre: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r².