Olasılık ve İstatistik

Olasılık Temelleri

• Örnek uzay (S): Bir deneyin tüm olası sonuçlarının kümesi. Olay: Örnek uzayın alt kümesi.
• Klasik olasılık: Eş olumlu sonuçlarda P(A) = s(A)/s(S). Kolmogorov aksiyomları: 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(S) = 1; ayrık olaylar için P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• Temel kurallar: P(A') = 1 − P(A); P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B). Çarpma kuralı: P(A ∩ B) = P(A|B)·P(B).
• Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Ayrık (bağdaşmaz) olaylar (P(A ∩ B) = 0), olasılıkları sıfırdan farklıysa bağımsız olamaz.
• Toplam olasılık kuralı: P(A) = Σ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ). Bayes teoremi: P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ)P(Bᵢ) / Σ P(A|Bⱼ)P(Bⱼ).

Rastgele Değişkenler ve Dağılımlar

• Kesikli rastgele değişken: Olasılık fonksiyonu p(x); beklenen değer E(X) = Σ x·p(x); varyans Var(X) = E(X²) − [E(X)]².
• Sürekli rastgele değişken: Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) ≥ 0, ∫ f = 1; P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx; E(X) = ∫ x f(x) dx.
• Özellikler: E(aX + b) = aE(X) + b; Var(aX + b) = a²Var(X); bağımsız X, Y için Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).
• Bernoulli (tek deneme; E = p, Var = p(1−p)), Binom (n bağımsız deneme: P(X = k) = C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ; E = np; Var = np(1−p)), Geometrik (ilk başarıya kadar deneme), Poisson (birim zamandaki nadir olay sayısı: P(X = k) = e^(−λ)λᵏ/k!; E = Var = λ), Hipergeometrik (iadesiz seçim).
• Düzgün (uniform) dağılım [a, b]'de f = 1/(b − a), E = (a + b)/2. Üstel dağılım (bekleme süresi; hafızasızlık özelliği). Normal dağılım: çan eğrisi, ortalama μ etrafında simetrik; μ ± σ içinde yaklaşık %68, μ ± 2σ içinde %95, μ ± 3σ içinde %99,7. Standart normal: Z = (X − μ)/σ, μ = 0, σ = 1.
• Merkezî limit teoremi: Bağımsız ve aynı dağılımlı değişkenlerin örneklem ortalaması, n büyüdükçe normal dağılıma yaklaşır.

Betimsel İstatistik

• Merkezî eğilim ölçüleri: Aritmetik ortalama, medyan (ortanca; sıralı verinin ortası; uç değerlerden etkilenmez), mod (tepe değer; en sık tekrar eden).
• Yayılım ölçüleri: Açıklık (ranj = en büyük − en küçük), çeyrekler açıklığı (Q₃ − Q₁), varyans, standart sapma (varyansın karekökü), değişim katsayısı (σ/μ).
• Dağılımın biçimi: Sağa çarpık (pozitif çarpık) dağılımda ortalama > medyan > mod; sola çarpık dağılımda mod > medyan > ortalama; simetrik dağılımda üçü eşittir.
• Grafikler: Histogram, sütun grafiği, daire grafiği, çizgi grafiği, kutu grafiği (beş sayı özeti: en küçük, Q₁, medyan, Q₃, en büyük), dal-yaprak gösterimi, serpme (saçılım) diyagramı.
• Korelasyon: Pearson korelasyon katsayısı r, −1 ≤ r ≤ 1; işaret ilişkinin yönünü, mutlak değer gücünü gösterir. Korelasyon nedensellik göstermez. Doğrusal regresyon: En küçük kareler yöntemiyle y = a + bx doğrusu.

Çıkarımsal İstatistik (Giriş)

Evren (popülasyon) ve örneklem; parametre ve istatistik; örnekleme yöntemleri (basit rastgele, tabakalı, küme, sistematik). Güven aralığı ve hipotez testi (sıfır hipotezi H₀, alternatif hipotez H₁; I. tip hata α: doğru H₀'ı reddetme; II. tip hata β: yanlış H₀'ı kabul etme).