Basit Harmonik Hareket

Basit Harmonik Hareketin Tanımı

Basit harmonik hareket (BHH), geri çağırıcı kuvvetin denge konumundan uzaklıkla doğru orantılı ve denge konumuna yönelik olduğu periyodik harekettir: F = −kx. Hareketin ivmesi a = −ω²x'tir; ivme uzanımla orantılı ve zıt yönlüdür.

Hareket Denklemleri

• Konum: x(t) = A cos(ωt + φ) (A: genlik, ω: açısal frekans, φ: başlangıç fazı).
• Hız: v(t) = −Aω sin(ωt + φ); hızın büyüklüğü v = ω√(A² − x²). Hız denge konumunda en büyük (v_max = Aω), uç noktalarda sıfırdır.
• İvme: a(t) = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²x. İvme uç noktalarda en büyük (a_max = Aω²), denge konumunda sıfırdır.
• Periyot T = 2π/ω, frekans f = 1/T. BHH, düzgün çembersel hareketin çap üzerindeki izdüşümüdür.

Yay-Kütle Sistemi

• T = 2π√(m/k). Periyot genliğe ve yer çekimi ivmesine bağlı değildir; kütle artarsa artar, yay sabiti artarsa azalır.
• Düşey asılı yay-kütle sisteminde de periyot aynıdır; yalnız denge konumu mg/k kadar aşağı kayar.
• Yay kesilirse yay sabiti uzunlukla ters orantılı olarak artar (yarıya kesilen yayın sabiti 2k).

Basit Sarkaç

• Küçük açılarda (yaklaşık 10°'nin altında) BHH yapar: T = 2π√(L/g). Periyot kütleye ve (küçük açılarda) genliğe bağlı değildir.
• Yukarı ivmelenen asansörde g_etkin = g + a olduğundan periyot azalır; serbest düşen sistemde sarkaç salınmaz. Ay'da g küçük olduğundan periyot artar.
• Fiziksel sarkaç: T = 2π√(I/(mgd)) (d: asılma noktası ile kütle merkezi arası uzaklık).
• Burulma sarkacı: T = 2π√(I/κ).

Enerji

• Toplam mekanik enerji E = (1/2)kA² = (1/2)mω²A² sabittir.
• Kinetik enerji E_k = (1/2)k(A² − x²); potansiyel enerji E_p = (1/2)kx². x = A/√2 konumunda kinetik ve potansiyel enerjiler eşittir.
• Enerji genliğin karesiyle orantılıdır: genlik iki katına çıkarsa enerji dört katına çıkar.

Sönümlü ve Zorlanmış Salınımlar

• Sönümlü salınım: Sürtünme veya direnç nedeniyle genlik zamanla üstel olarak azalır. Az sönümlü (salınım sürer, genlik azalır), kritik sönümlü (en kısa sürede salınımsız dengeye dönme; araç amortisörleri), aşırı sönümlü (yavaşça salınımsız dönme).
• Zorlanmış salınım ve rezonans: Dış periyodik kuvvetin frekansı sistemin doğal frekansına eşit olduğunda genlik en büyük değerine ulaşır (rezonans). Örnekler: salıncağı doğru zamanda itmek, askerlerin köprüde uygun adım yürümemesi (Tacoma Köprüsü çöküşü rüzgârla oluşan aeroelastik titreşimle ilişkilendirilir), radyo alıcılarının istasyon seçmesi, mikrodalga fırın.

Salınımların Birleşimi

Aynı doğrultuda aynı frekanslı iki BHH birleşince yine BHH oluşur. Yakın frekanslı salınımlar birleşince vuru (beat) olayı görülür; vuru frekansı |f₁ − f₂|. Dik doğrultulardaki salınımların birleşimi Lissajous eğrilerini oluşturur.