Limit ve Süreklilik

Limit Kavramı

Bir f fonksiyonunun x, a noktasına yaklaşırken (x → a) aldığı değerler bir L sayısına keyfî derecede yaklaşıyorsa f'nin a noktasındaki limiti L'dir: lim(x→a) f(x) = L. Limitin var olması için fonksiyonun a noktasında tanımlı olması gerekmez.

• ε-δ tanımı: Her ε > 0 için öyle bir δ > 0 vardır ki 0 < |x − a| < δ olduğunda |f(x) − L| < ε olur.
• Sağdan ve soldan limit: lim(x→a⁺) f(x) ve lim(x→a⁻) f(x). Limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin var ve eşit olması gerekir.
• Limit kuralları: Toplam, fark, çarpım, bölüm (payda limiti sıfır değilse) ve kuvvet kuralları; sabit çarpan dışarı alınır.
• Belirsizlik durumları: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰. Çözüm yolları: çarpanlara ayırma, eşlenik ile çarpma, L'Hospital kuralı (0/0 ve ∞/∞ durumunda lim f/g = lim f'/g'), bilinen limitlerden yararlanma.
• Önemli limitler: lim(x→0) sin x / x = 1; lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0; lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e; lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1; lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1.
• Sonsuzda limit ve asimptotlar: Polinom bölümlerinde dereceler karşılaştırılır (pay derecesi küçükse limit 0, eşitse baş katsayılar oranı, büyükse ±∞). Düşey asimptot: x = a'da limit ±∞; yatay asimptot: x → ±∞ iken limit sonlu L; eğik asimptot: pay derecesi paydadan bir fazla olduğunda.
• Sıkıştırma (sandviç) teoremi: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ve lim g = lim h = L ise lim f = L.

Süreklilik

• f fonksiyonu a noktasında süreklidir ⟺ (1) f(a) tanımlı, (2) lim(x→a) f(x) var, (3) lim(x→a) f(x) = f(a).
• Süreksizlik türleri: Kaldırılabilir süreksizlik (limit var ama f(a)'ya eşit değil ya da f(a) tanımsız), sıçrama süreksizliği (sağ ve sol limitler farklı), sonsuz süreksizlik (limit sonsuz), salınımlı süreksizlik (sin(1/x), x→0).
• Polinomlar her yerde; rasyonel fonksiyonlar paydanın sıfır olmadığı yerlerde; trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonlar tanım kümelerinde süreklidir. Sürekli fonksiyonların toplamı, çarpımı, bileşkesi süreklidir.
• Ara değer teoremi: f, [a, b]'de sürekli ve k, f(a) ile f(b) arasında bir değerse f(c) = k olacak şekilde bir c ∈ [a, b] vardır. Özel hâli (Bolzano): f(a)·f(b) < 0 ise (a, b) aralığında en az bir kök vardır.
• Ekstremum değer teoremi (Weierstrass): Kapalı ve sınırlı [a, b] aralığında sürekli fonksiyon bu aralıkta en büyük ve en küçük değerini alır.
• Düzgün süreklilik: δ'nın yalnız ε'a bağlı olup noktadan bağımsız seçilebilmesi; kapalı sınırlı aralıkta sürekli fonksiyon düzgün süreklidir (Heine-Cantor).