Lineer Cebir

Matrisler

• Matris işlemleri: Toplama (aynı boyut), skalerle çarpma, matris çarpımı (A m×n, B n×p ise AB m×p). Matris çarpımı genelde değişmeli değildir (AB ≠ BA), birleşmelidir.
• Özel matrisler: Birim matris I, sıfır matris, köşegen, üst/alt üçgen, simetrik (Aᵀ = A), ters simetrik (Aᵀ = −A), ortogonal (AᵀA = I).
• Transpoz: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ. Ters matris: AA⁻¹ = I; A tersinirdir ⟺ det A ≠ 0; (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹. 2×2 için A = [a b; c d] ise A⁻¹ = (1/(ad − bc))·[d −b; −c a].

Determinant

• 2×2: ad − bc. 3×3: Sarrus kuralı veya kofaktör (Laplace) açılımı.
• Özellikler: det(AB) = det A · det B; det(Aᵀ) = det A; det(A⁻¹) = 1/det A; det(kA) = kⁿ det A (n×n). İki satırın yer değiştirmesi işareti değiştirir; bir satırın katının başka satıra eklenmesi determinantı değiştirmez; iki satırı eşit ya da orantılı matrisin determinantı 0'dır; üçgen matrisin determinantı köşegen elemanlarının çarpımıdır.
• Ek (adjoint) matris: A⁻¹ = (1/det A)·adj(A).

Lineer Denklem Sistemleri

• AX = B. Gauss eliminasyonu ve Gauss-Jordan (indirgenmiş satır basamak formu) yöntemleri.
• Cramer kuralı: det A ≠ 0 ise xᵢ = det Aᵢ / det A.
• Rank ile çözüm durumu (Rouché-Capelli): rank(A) = rank([A|B]) = n (bilinmeyen sayısı) ise tek çözüm; rank(A) = rank([A|B]) < n ise sonsuz çözüm; rank(A) ≠ rank([A|B]) ise çözüm yok.
• Homojen sistem (AX = 0) her zaman en az aşikâr (sıfır) çözüme sahiptir; det A = 0 ise aşikâr olmayan çözümleri de vardır.

Vektör Uzayları

• Vektör uzayı: Toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre kapalı, belirli aksiyomları sağlayan küme (ℝⁿ, polinomlar, matrisler).
• Alt uzay: Sıfır vektörünü içeren, toplama ve skalerle çarpmaya göre kapalı alt küme.
• Lineer bağımsızlık: c₁v₁ + … + cₖvₖ = 0 yalnız c₁ = … = cₖ = 0 için sağlanıyorsa vektörler lineer bağımsızdır.
• Germe (span), taban (baz) ve boyut: Uzayı geren lineer bağımsız kümeye taban, tabandaki vektör sayısına boyut denir. dim ℝⁿ = n; n. dereceden polinomlar uzayının boyutu n + 1.

Lineer Dönüşümler

• T(u + v) = T(u) + T(v) ve T(cu) = cT(u). Her lineer dönüşüm bir matrisle temsil edilir.
• Çekirdek (kernel/sıfır uzayı) ve görüntü (range). Boyut (rank-nullity) teoremi: dim(ker T) + dim(Im T) = dim V.
• T birebirdir ⟺ ker T = {0}.

Özdeğer ve Özvektör

• Av = λv (v ≠ 0) ise λ özdeğer, v özvektördür. Özdeğerler karakteristik denklem det(A − λI) = 0'ın kökleridir.
• Özdeğerlerin toplamı = iz (köşegen toplamı); çarpımı = det A.
• Köşegenleştirme: n lineer bağımsız özvektör varsa A = PDP⁻¹; simetrik reel matrisler her zaman (ortogonal olarak) köşegenleştirilebilir ve özdeğerleri reeldir.
• Cayley-Hamilton teoremi: Her kare matris kendi karakteristik denklemini sağlar.

İç Çarpım Uzayları

u·v = |u||v|cos θ; ortogonal vektörlerde iç çarpım 0'dır. Gram-Schmidt süreci bir tabandan ortonormal taban üretir. Cauchy-Schwarz eşitsizliği: |u·v| ≤ |u||v|.