Nokta ve Aralık Tahmini

Tahmin Kavramı

İstatistiksel tahmin, örneklem verilerinden yararlanarak bilinmeyen ana kütle parametrelerinin (μ, σ², p) kestirilmesidir. İki türü vardır: nokta tahmini (parametre için tek bir değer) ve aralık tahmini (parametrenin belirli bir güvenle içinde bulunduğu aralık).

Nokta Tahmini

• Tahmin ediciler: Ana kütle ortalaması μ için örneklem ortalaması x̄; ana kütle varyansı σ² için örneklem varyansı s² (payda n − 1); ana kütle oranı p için örneklem oranı p̂.
• İyi bir tahmin edicinin özellikleri: Yansızlık (tahmin edicinin beklenen değeri parametreye eşittir; E(x̄) = μ), etkinlik (yansız tahmin ediciler arasında varyansı en küçük olan), tutarlılık (örneklem büyüdükçe tahmin edicinin parametreye yaklaşması) ve yeterlilik (örneklemdeki parametreye ilişkin tüm bilgiyi kullanması).
• Tahmin yöntemleri: Momentler yöntemi, en çok olabilirlik (maksimum likelihood) yöntemi, en küçük kareler yöntemi.

Aralık Tahmini (Güven Aralıkları)

Güven aralığı, belirli bir güven düzeyiyle (1 − α) parametreyi içermesi beklenen aralıktır. Genel yapı: Nokta tahmini ± (Kritik değer × Standart hata). Yüzde 95 güven düzeyi, aynı yöntemle çok sayıda örneklem alındığında oluşturulan aralıkların yüzde 95'inin gerçek parametreyi içereceği anlamına gelir.

• Ana kütle ortalaması (σ biliniyor veya n büyük): x̄ ± Z_α/2 × σ/√n. Yaygın kritik değerler: yüzde 90 için 1,645; yüzde 95 için 1,96; yüzde 99 için 2,576.
• Ana kütle ortalaması (σ bilinmiyor, küçük örneklem, ana kütle normal): x̄ ± t_{α/2, n−1} × s/√n; t dağılımı n − 1 serbestlik derecesiyle kullanılır.
• Ana kütle oranı: p̂ ± Z_α/2 × √[p̂(1 − p̂)/n] (np̂ ve n(1 − p̂) yeterince büyükse).
• Ana kütle varyansı: Ki-kare dağılımı kullanılır.
• İki ortalama farkı ve iki oran farkı için de güven aralıkları oluşturulabilir.

Güven Aralığının Genişliğini Etkileyen Faktörler

• Güven düzeyi arttıkça (örneğin yüzde 95'ten yüzde 99'a) kritik değer büyür ve aralık genişler.
• Örneklem büyüklüğü arttıkça standart hata küçülür ve aralık daralır (daha hassas tahmin).
• Ana kütle değişkenliği (σ) arttıkça aralık genişler.
• Hata payı (E) = Kritik değer × standart hata; aralığın yarı genişliğidir. Hata payını yarıya indirmek için örneklem büyüklüğünün dört katına çıkarılması gerekir.

Örnek

n = 100 kişilik bir örneklemde ortalama gelir 20.000 TL ve ana kütle standart sapması 5.000 TL ise, ortalama gelir için yüzde 95 güven aralığı: 20.000 ± 1,96 × (5.000 / 10) = 20.000 ± 980, yani 19.020 TL ile 20.980 TL arasıdır.